数学が解ける人はどうして発想が浮かぶ(ひらめく)のか
どうも、発想力には
結構自信のあるぐっちぃです。
今回は数学でよくひらめく人の
考えに注目して、
ひらめくために必要なことを
説明していこうと思います。
ひらめくことができれば
難しい発展問題などに対抗する力
が付きます。
そして他の人たちより
ワンランク上の景色を
見ることができるように
なります。
ひらめくことができなければ、
ひらめく人たちに
「どうしてそんな発想が浮かぶの?」
とうらやましく思う日々が
待っています。
ひらめきを手にし、
数学を制しましょう。
どうしてひらめくのか
数学を解ける人たちは
どうしてひらめくのか。
その答えは
いろいろな解法を知っていて、
かつ使うことができるからです。
「記憶力や数学的才能があるから
そんなことできるんだよ」
と言いたい方もいると思います。
しかしこれは
普段からの少しの注意と努力で
できるようになります。
ひらめく人とひらめかない人の違い
ではひらめかない人に
足りていないものを知るために
ひらめく人とひらめかない人の
違いを考えてみましょう。
ひらめく人
いろいろな知識を
関連付けて覚えているので、
いろいろな知識が
それぞれ結びついて
網のように広がっています。
ひらめかない人
ひらめく人と知識の数は
同じだったとしても、
それぞれが結びついていない、
点と点の状態です。
英単語で言うとひらめく人は
単語の原形や過去形、過去分詞などを
一緒に覚えているのに対し、
ひらめかない人は
原形や過去形などを
別々の単語として
覚えているような感じです。
知識を結び付ける重要性
ひらめく人は知識を
結び付けていて
網のような状態
だといいましたが、
なぜこのほうがいいのでしょうか。
理由は
新たな知識を習得しやすく、
使うときに引き出しやすいからです。
芋づる式に知識を
引っ張り出すことができることで、
知識があふれ出し、
ひらめくことにつながります。
僕の高校時代の学年主任の先生も
「点と点だった知識が線でつながり
網ができたとき爆発的に学力が伸びる」
とおっしゃっていました。
ひらめくためにやるべきこと
今までの話からひらめくためには
関連した知識が結びついていることが必要
だとわかりました。
そのためには「これとこれは似ているな」
と感じることが大切です。
数学が得意な人もやっている
似ているとか感じたことないよー
という方はぜひ手を動かしてみてください。
日ごろから難しい問題をすぐにあきらめずに
自分の持てる知識を総動員して考えましょう。
考えられる解き方や公式などを
ひたすら引き出しまくって
トライアンドエラーを繰り返しましょう。
これは数学が得意な人たちもやっていることです。
インプットとアウトプットを
繰り返し行うことで理解が深まり、
知識同士を関連付けることも
できるようになります。
関連した知識を一緒に使う
そして似ていると思って覚えた
二つの知識があるとします。
片方の知識を使ったときには
もう片方の知識も使ってみましょう。
そのときには全く関係ないかもしれないですが、
それもまた「このときには使えない」
という知識になります。
実践編
まずは今すぐ行動して
少しでも知識同士を
結び付けましょう。
step1：なんでもいいので問題を用意する
step2：関連知識をすべて引っ張り出す(その問題に使うかどうかに限らず)
step3：これからも同じように関連知識を引き出す練習をする
これでもかというくらい続けてみてください。
気づくとひらめくことを日常的に
できるようになっていると思います。
まとめ
今回はどうしてそんな発想が浮かぶのか
という疑問に答えました。
疑問の答えとしては
いろいろな解法を知っていて、
かつ使うことができるからでした。
知識が点の状態で記憶している方は
関連を意識して問題を解くようにしてください。
問題を解く際にいろんな知識を
引き出すことができれば、
あなたもひらめきを手にすることができます。
また、このいろんな知識を引き出すことは
初見の問題を解くときにも役に立ちます。
詳しくはこちらを参考にしてください。
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二次関数の最大最小問題を解く手順と気を付けること
どうも、高1の時、
二次関数に苦しんだぐっちぃです。
今回は高校数学で
最初の難関である二次関数
について解説していきます。
気を付けることは主に
符号や定義域です。
以下もっと詳しく説明していきます。
二次関数がわからないまま、
先に進んでいってしまうと
他の単元も難しくなって
数学の勉強がつらいと
感じるようになってしまいます。
二次関数を先延ばしにせずに
攻略しておくことで
余裕が生まれ、
今後の数学の勉強が楽しくなります。
まずは二次関数を攻略して
高校数学攻略の第一歩を
踏み出しましょう。
二次関数の最大最小問題を解く手順
多くの二次関数の
最大値最小値を求める問題に
共通する解き方の手順を
あげていきます。
1.与えられた二次関数の方程式を(あれば定義域も)ノートに書く。
2.平方完成をする。
3.平方完成した式をもとにグラフを書く。
4.グラフを見て、最大値、最小値をとる座標を確認する。
5.「x=〇で、最大(小)値〇をとる」という形で答えを書く。
この解き方の手順をマスターすれば
多くの二次関数の最大最小問題は解けます。
解くうえで気を付けること
手順がわかったところで、
気を付けることを教えたいと思います。
注意するところさえわかれば、
ひっかけ問題は面白いほど回避できます。
平方完成で気を付けること
x²の係数が負のときは
特に符号の間違いが多いので、
平方完成をしているときは
常に符号に気を付けましょう。
補足(平方完成の一般の式変形)
y=ax²+bx+c を平方完成すると
y=a(x²+bx/a)+c
y=a{(x+b/2a)²ーb²/4a²}+c
y=a(x+b/2a)²ーb²/4a+c
グラフを書くときに気を付けること
上に凸や下に凸といった
グラフの大まかな形が決まるため、
x²の係数の正負に気を付けます。
グラフを書くときによく困ることとして、
x軸やy軸との交点が
わからなくてうまく書けない
ということが起こります。
そのときは
y=0代入してx軸、
x=0を代入してy軸
との交点を求めることで解決できます。
また定義域がある場合は、
グラフの軸が定義域の内側なのか外側なのかや
定義域の端の座標はどうなっているのかを
求めることで正確にグラフが書けます。
最大値最小値を確認するときに気を付けること
定規などをx軸に平行にして
上下に移動させながら確認すると
間違えにくいです。
多くの場合
定義域の端にとることが多いが、
定義域が(〇＜ｘ＜〇)のとき
定義域の端では値をとることはできないことに
注意しましょう。
解答を書くときに気を付けること
最大値最小値をとるとき
複数のxの値で同じyの値をとるときがある。
その時はすべてのxの値を解答に書きます。
最大値最小値がないときは、
「最大(小)値なし」と書きます。
実践編
実際に問題を解いてみよう!
問題 (最大値、最小値があれば求めよ)
⑴ y=ー3x²ー4x+2 (-1≦ x ≦0)
⑵ y=3x²ー6x (0< x <3)
解答
⑴平方完成後の式：y=ー3(x+2/3)²+10/3
解答：
x=ー2/3で最大値10/3、x=0で最小値2をとる
⑵平方完成後の式：y=3(xー1)²ー3
解答：
x=1で最小値ー3をとる、最大値はなし
まとめ
二次関数の最大最小問題が
すんなり解けるようになりましたか?
二次関数は高校数学の序盤で習うけれど
最後の最後まで重要になってきます。
応用問題でも手順のはじめやおわりを
少し考えなければいけないくらいで
ベースとなるやり方は変わらないです。
だからこの手順をマスターして、
最初の難所である二次関数を乗り越えましょう。
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